# 幂级数
k=0∑∞ak(z−z0)k=a0+a1(z−z0)+a2(z−z0)2+⋯
这样的级数称为以z0 为中心的 幂级数
收敛半径的判断分为比值判断法和根值判断法:
R=k→∞lim∣∣∣∣∣ak+1ak∣∣∣∣∣
R=k→∞limkak1
这里有一个常用的式子:\displaystyle\sum^{\infty}_{k=0}t^k=\frac{1}
# 泰勒级数展开
设f(z) 在以z0 为圆心的圆CR 内解析,则对圆内的任意点,f(z) 可展为幂级数:
f(z)=k=0∑∞ak(z−z0)k
其中
ak=2πi1∮CR1(ζ−z0)k+1f(ζ)dζ=k!f(k)(z0)
CR1 为与CR 同心的圆,这个级数称为以z0 为中心的 泰勒级数 ,展开为泰勒级数后记得要把收敛圆求出来并在式子后面写上范围。否则不在收敛圆范围内级数发散而无意义的。
在复变函数中,一定要记得1=ei2nπ,且有1m=eimn2π,不能认为它等于 1。还有就是当n=0 时的单值分支称为函数的 主值
# 洛朗级数展开
洛朗级数展开与泰勒级数展开不同的是洛朗级数的区域上存在奇点,要考虑除去奇点的环域上的展开。在前面没有涉及到负幂级数,这里介绍双边幂级数:
⋯+a−2(z−z0)−2+a−1(z−z0)−1+a0+a1(z−z0)1+a2(z−z0)2+⋯
设正幂部分有个收敛半径记作R1,复幂部分用ζ=z−z01 替换后有个收敛半径R21,且R2<R1,则环域R2<∣z−z0∣<R! 称为级数的收敛环
设函数f(z) 在环域内解析,则可以展开为幂级数:
f(z)=k=−∞∑∞ak(z−z0)k
其中
ak=2πi1∮C(ζ−z0)k+1f(ζ)dζ
这里积分路径C 是,环域内按逆时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线,注意这里ak 的计算不能用求导!!!