# 幂级数

k=0ak(zz0)k=a0+a1(zz0)+a2(zz0)2+\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^k=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\cdots

这样的级数称为以z0z_0 为中心的 幂级数

收敛半径的判断分为比值判断法和根值判断法:

R=limkakak+1R=\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right|

R=limk1akkR=\lim_{k\to \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{a_k}}

这里有一个常用的式子:\displaystyle\sum^{\infty}_{k=0}t^k=\frac{1}

# 泰勒级数展开

f(z)f(z) 在以z0z_0 为圆心的圆CRC_R 内解析,则对圆内的任意点,f(z)f(z) 可展为幂级数:

f(z)=k=0ak(zz0)kf(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k

其中

ak=12πiCR1f(ζ)(ζz0)k+1dζ=f(k)(z0)k!a_k=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R_1}} \cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}} \,d\zeta=\cfrac{f^{(k)}(z_0)}{k!}

CR1C_{R_1} 为与CRC_R 同心的圆,这个级数称为以z0z_0 为中心的 泰勒级数 ,展开为泰勒级数后记得要把收敛圆求出来并在式子后面写上范围。否则不在收敛圆范围内级数发散而无意义的。

在复变函数中,一定要记得1=ei2nπ1=e^{i2n\pi},且有1m=eimn2π1^m=e^{imn2\pi},不能认为它等于 1。还有就是当n=0n=0 时的单值分支称为函数的 主值

# 洛朗级数展开

洛朗级数展开与泰勒级数展开不同的是洛朗级数的区域上存在奇点,要考虑除去奇点的环域上的展开。在前面没有涉及到负幂级数,这里介绍双边幂级数:

+a2(zz0)2+a1(zz0)1+a0+a1(zz0)1+a2(zz0)2+\cdots + a_{-2}(z-z_0)^{-2}+ a_{-1}(z-z_0)^{-1} +a_0+ a_{1}(z-z_0)^{1}+ a_{2}(z-z_0)^{2}+\cdots

设正幂部分有个收敛半径记作R1R_1,复幂部分用ζ=1zz0\zeta=\frac{1}{z-z_0} 替换后有个收敛半径1R2\frac{1}{R_2},且R2<R1R_2<R_1,则环域R2<zz0<R!R_2<|z-z_0|<R_! 称为级数的收敛环

设函数f(z)f(z) 在环域内解析,则可以展开为幂级数:

f(z)=k=ak(zz0)kf(z)=\displaystyle\sum^\infty_{k=-\infty} a_k(z-z_0)^k

其中

ak=12πiCf(ζ)(ζz0)k+1dζa_k=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}} \,d\zeta

这里积分路径CC 是,环域内按逆时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线,注意这里aka_k 的计算不能用求导!!!