# 数学物理方程的导出

# 均匀弦的微小横振动

(自由振动方程)若自由振动:

utta2uxx=0u_{tt}-a^2u_{xx}=0

其中a2=T/ρa^2=T/\rhoTT 为弦上的张力,ρ\rho 为弦的线密度

(受迫振动方程)若受到外加横向力的作用,每单位长度弦所受横向力为F(x,t)F(x,t)

utta2uxx=f(x,t)u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)

其中f(x,t)=F(x,t)/ρf(x,t)=F(x,t)/\rho 称为力密度,为 t 时刻作用于xx 处单位质量上的横向外力

# 均匀杆的纵振动

自由振动:

utta2uxx=0u_{tt}-a^2u_{xx}=0

其中a2=E/ρa^2=E/\rho

受迫纵振动:

utta2uxx=f(x,t)u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)

胡克定律:单位面积上的弹性力为EuxEu_x,整个横截面上的弹性力:ESuxESu_x

# 扩散方程

uta2Δu=0u_t-a^2\Delta u=0

其中a2=Da^2=DDD 为扩散系数

# 热传导方程

uta2Δu=0u_t-a^2\Delta u=0

其中a^2=\frac{k}

# 定解条件

# 初始条件

初始条件就是初始时刻方程的位移和速度的条件:

u(x,y,z,t)t=0=φ(x,y,z)u(x,y,z,t)|_{t=0}=\varphi(x,y,z)

ut(x,y,z,t)t=0=ψ(x,y,z)u_t(x,y,z,t)|_{t=0}=\psi(x,y,z)

注意初始条件应当对应整个系统的初始状态,而不是一个点的状态,意思就是它应该是一个方程而不是特定的一个值

# 边界条件

边界条件针对于空间上的条件

# 第一类边界条件

直接规定边界上的数值

如弦的两端固定而振动,边界条件是:ux=0=0,ux=l=0u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0
杆的导热问题,若一个端点的温度uu 按已知规律f(t)f(t) 变化,边界条件是:u(x,t)x=a=f(t)u(x,t)|_{x=a}=f(t)

# 第二类边界条件

规定边界外法线方向上放向导数的数值

杆的纵振动,若端点受沿外法线方向的外力f(t)f(t),边界条件是:(Eun)x=aS=f(t)(Eu_n)|_{x=a}S=f(t)

# 达朗贝尔公式 定解问题