数学物理方法第二章

# 数学物理方程的导出

（自由振动方程）若自由振动：

$u_{tt}-a^2u_{xx}=0$

其中 $a^2=T/\rho$ ， $T$ 为弦上的张力， $\rho$ 为弦的线密度

（受迫振动方程）若受到外加横向力的作用，每单位长度弦所受横向力为 $F(x,t)$ ：

$u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)$

其中 $f(x,t)=F(x,t)/\rho$ 称为力密度，为 t 时刻作用于 $x$ 处单位质量上的横向外力

自由振动：

$u_{tt}-a^2u_{xx}=0$

其中 $a^2=E/\rho$

受迫纵振动：

$u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)$

胡克定律：单位面积上的弹性力为 $Eu_x$ ，整个横截面上的弹性力： $ESu_x$

$u_t-a^2\Delta u=0$

其中 $a^2=D$ ， $D$ 为扩散系数

$u_t-a^2\Delta u=0$

其中a^2=\frac{k}

初始条件就是初始时刻方程的位移和速度的条件：

$u(x,y,z,t)|_{t=0}=\varphi(x,y,z)$

$u_t(x,y,z,t)|_{t=0}=\psi(x,y,z)$

注意初始条件应当对应整个系统的初始状态，而不是一个点的状态，意思就是它应该是一个方程而不是特定的一个值

边界条件针对于空间上的条件

直接规定边界上的数值

如弦的两端固定而振动，边界条件是： $u|_{x=0}=0,u|_{x=l}=0$
杆的导热问题，若一个端点的温度 $u$ 按已知规律 $f(t)$ 变化，边界条件是： $u(x,t)|_{x=a}=f(t)$

规定边界外法线方向上放向导数的数值

杆的纵振动，若端点受沿外法线方向的外力 $f(t)$ ，边界条件是： $(Eu_n)|_{x=a}S=f(t)$