# 数学物理方程的导出
# 均匀弦的微小横振动
(自由振动方程)若自由振动:
utt−a2uxx=0
其中a2=T/ρ,T 为弦上的张力,ρ 为弦的线密度
(受迫振动方程)若受到外加横向力的作用,每单位长度弦所受横向力为F(x,t):
utt−a2uxx=f(x,t)
其中f(x,t)=F(x,t)/ρ 称为力密度,为 t 时刻作用于x 处单位质量上的横向外力
# 均匀杆的纵振动
自由振动:
utt−a2uxx=0
其中a2=E/ρ
受迫纵振动:
utt−a2uxx=f(x,t)
胡克定律:单位面积上的弹性力为Eux,整个横截面上的弹性力:ESux
# 扩散方程
ut−a2Δu=0
其中a2=D,D 为扩散系数
# 热传导方程
ut−a2Δu=0
其中a^2=\frac{k}
# 定解条件
# 初始条件
初始条件就是初始时刻方程的位移和速度的条件:
u(x,y,z,t)∣t=0=φ(x,y,z)
ut(x,y,z,t)∣t=0=ψ(x,y,z)
注意初始条件应当对应整个系统的初始状态,而不是一个点的状态,意思就是它应该是一个方程而不是特定的一个值
# 边界条件
边界条件针对于空间上的条件
# 第一类边界条件
直接规定边界上的数值
如弦的两端固定而振动,边界条件是:u∣x=0=0,u∣x=l=0
杆的导热问题,若一个端点的温度u 按已知规律f(t) 变化,边界条件是:u(x,t)∣x=a=f(t)
# 第二类边界条件
规定边界外法线方向上放向导数的数值
杆的纵振动,若端点受沿外法线方向的外力f(t),边界条件是:(Eun)∣x=aS=f(t)
# 达朗贝尔公式 定解问题