# 平稳随机过程
# 严平稳随机过程
若随机过程X(t) 的N 维概率密度满足:
fX(X1,X2,⋯,Xn;t1,t2,⋯,tn)=fX(X1,X2,⋯,Xn;t1+ε,t2+ε,⋯,tn+ε)
则称为 严平稳随机过程
严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关
fX(x1;t1)=fX(x1)E[X(t)]=mXE[X2(t)]=ΨX2D[X(t)]=σX2
严平稳随机过程的二维概率密度只与t1,t2 的时间间隔有关
fX(x1,x2;t1,t2)=fX(x1,x2;τ)RX(t1,t2)=RX(τ)CX(t1,t2)=RX(τ)−mX2
严平稳随机过程的判断:
- 若X(t) 为严平稳,k 为任意正整数,则E[Xk(t)] 与时间t 无关
- 若X(t) 为严平稳,则对于任意时刻t0,X(t0) 具有相同的统计特性
# 宽平稳随机过程
若随机过程X(t) 满足:
mX(t)=mXRX(t1,t2)=E(Xt1,Xt2)=RX(τ)ΨX2(t)=E[X2(t)]<∞
则称为 宽平稳随机过程
严平稳与宽平稳的关系:严平稳过程的均方值有界,则此过程为宽平稳的,反之不成立。对于正态过程,严平稳与宽平稳等价。
# 平稳随机过程的性质
- RX(0)=E[X2(t)]=ΨX2⩾0平均功率
- RX(τ)=RX(−τ) CX(τ)=CX(−τ)偶对称性
- RX(0)⩾∣RX(τ)∣,CX(0)=σX2⩾∣CX(τ)∣极值性
- 若平稳过程含有一个周期分量,则RX(τ) 含有同一个周期分量
- 若平稳过程不含有任何周期分量,则RX(∞)=mX2,CX(∞)=0
- RX(τ)=CX(τ)+mX2,若平稳过程是非周期的,则:σX2=RX(0)−RX(∞)

# 平稳过程的相关系数和相关时间
# 相关系数
ρX(τ)=CX(0)CX(τ)=σX2RX(τ)−mX2
相关系数的值在[−1,1] 之间,ρ=0 表示不相关,ρ⩾0 表示正相关,ρ=1 表示完全相关
# 相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值,可以认为两个不同时刻起伏值不相关了,这个时间就称为相关时间。通常把相关系数的绝对值小于 0.05 的时间间隔 ,记做相关时间。有时也可以用矩形面积(高为ρX(0)=1)等于阴影面积的一半来计算相关时间。相关时间越小,就意味着相关系数随τ 增加而降落的越快,表明随机过程随时间变化越剧烈。

# 遍历性或各态历经性
定义时间均值:
A(X(t))=x(t)=T→∞lim2T1∫−TTx(t)dt
若它依概率 1 收敛于集合均值,即:
A(X(T))=E[x(t)]=mX
则称X(t) 均值具有遍历性。
定义时间自相关函数:
RX(t,t+τ)=x(t)x(t+τ)=T→∞lim2T1∫−TTx(t)x(t+τ)dt
如果它依概率 1 收敛于集合自相关函数,即:
RX(t,t+τ)=E[x(t)x(t+τ)]=RX(τ)
则称X(t) 自相关函数具有遍历性。
遍历过程必定是平稳的,而平稳过程不一定是遍历的
# 联合宽平稳和联合宽遍历
# 联合宽平稳
若两个随机过程X(t) 和Y(t) 分别宽平稳,且互相关函数仅为时间τ 的函数,即:RXY(t1,t2)=RXY(τ)τ=t2−t1,则称这两个过程为 联合宽平稳 或 宽平稳相依
# 联合宽遍历
若两个随机过程X(t) 和Y(t) 联合宽平稳,定义它们的时间互相关函数为RXY(τ)=X(t)Y(t+τ)=T→∞lim2T1∫−TTx(t)y(t+τ)dt,若RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)]=RXY(τ),则称这两个过程具有 联合宽遍历性
# 互协方差和互相关系数
当两个随机过程联合平稳时,它们的互协方差:
CXY(t1,t2)=CXY(τ)
互相关系数:
ρXY(t)=CX(0)CY(0)CXY(t)=σXσYRXY−mXmY
# 联合宽平稳性质
- RXY(τ)=RYX(−τ),CXY(τ)=CYX(−τ),它们既不是偶函数,也不是奇函数
- ∣RXY(τ)∣2⩽RX(0)RY(0),∣CXY(τ)∣2⩽CX(0)CY(0)=σX2σY2
- ∣RXY(τ)∣⩽21[RX(0)+RY(0)],∣CXY(τ)∣⩽21[CX(0)+CY(0)]=21(σX2+σY2)