# 平稳随机过程

# 严平稳随机过程

若随机过程X(t)X(t)NN 维概率密度满足:

fX(X1,X2,,Xn;t1,t2,,tn)=fX(X1,X2,,Xn;t1+ε,t2+ε,,tn+ε)f_X(X_1,X_2,\cdots ,X_n;t_1,t_2,\cdots,t_n)=f_X(X_1,X_2,\cdots ,X_n;t_1+\varepsilon,t_2+\varepsilon,\cdots,t_n+\varepsilon)

则称为 严平稳随机过程

严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关

fX(x1;t1)=fX(x1)E[X(t)]=mXE[X2(t)]=ΨX2D[X(t)]=σX2f_X(x_1;t_1)=f_X(x_1) \\ E[X(t)]=m_X \\ E[X^2(t)]=\Psi_X^2 \\ D[X(t)]=\sigma_X^2

严平稳随机过程的二维概率密度只与t1,t2t_1,t_2 的时间间隔有关

fX(x1,x2;t1,t2)=fX(x1,x2;τ)RX(t1,t2)=RX(τ)CX(t1,t2)=RX(τ)mX2f_X(x_1,x_2;t_1,t_2)=f_X(x_1,x_2;\tau) \\ R_X(t_1,t_2)=R_X(\tau) \\ C_X(t_1,t_2)=R_X(\tau)-m_X^2

严平稳随机过程的判断:

  1. X(t)X(t) 为严平稳,kk 为任意正整数,则E[Xk(t)]E[X^k(t)] 与时间tt 无关
  2. X(t)X(t) 为严平稳,则对于任意时刻t0t_0X(t0)X(t_0) 具有相同的统计特性

# 宽平稳随机过程

若随机过程X(t)X(t) 满足:

mX(t)=mXRX(t1,t2)=E(Xt1,Xt2)=RX(τ)ΨX2(t)=E[X2(t)]<m_X(t)=m_X \\ R_X(t_1,t_2)=E(X_{t_1},X_{t_2})=R_X(\tau) \\ \Psi^2_X(t)=E[X^2(t)]<\infty

则称为 宽平稳随机过程

严平稳与宽平稳的关系:严平稳过程的均方值有界,则此过程为宽平稳的,反之不成立。对于正态过程,严平稳与宽平稳等价。

# 平稳随机过程的性质

  1. RX(0)=E[X2(t)]=ΨX20平均功率R_X(0)=E[X^2(t)]=\Psi^2_X\geqslant 0 \qquad 平均功率
  2. RX(τ)=RX(τ) CX(τ)=CX(τ)偶对称性R_X(\tau)=R_X(-\tau) \ C_X(\tau)=C_X(-\tau) \qquad 偶对称性
  3. RX(0)RX(τ),CX(0)=σX2CX(τ)极值性R_X(0) \geqslant |R_X(\tau)|, C_X(0) =\sigma^2_X\geqslant |C_X(\tau)| \qquad 极值性
  4. 若平稳过程含有一个周期分量,则RX(τ)R_X(\tau) 含有同一个周期分量
  5. 若平稳过程不含有任何周期分量,则RX()=mX2,CX()=0R_X(\infty)=m_X^2,C_X(\infty)=0
  6. RX(τ)=CX(τ)+mX2R_X(\tau)=C_X(\tau)+m_X^2,若平稳过程是非周期的,则:σX2=RX(0)RX()\sigma_X^2=R_X(0)-R_X(\infty)

平稳随机过程

# 平稳过程的相关系数和相关时间

# 相关系数

ρX(τ)=CX(τ)CX(0)=RX(τ)mX2σX2\rho_X(\tau)=\cfrac{C_X(\tau)}{C_X(0)}=\cfrac{R_X(\tau)-m_X^2}{\sigma_X^2}

相关系数的值在[1,1][-1,1] 之间,ρ=0\rho=0 表示不相关,ρ0\rho\geqslant 0 表示正相关,ρ=1\rho=1 表示完全相关

# 相关时间

当相关系数中的时间间隔大于某个值,可以认为两个不同时刻起伏值不相关了,这个时间就称为相关时间。通常把相关系数的绝对值小于 0.05 的时间间隔 ,记做相关时间。有时也可以用矩形面积(高为ρX(0)=1\rho_X(0)=1)等于阴影面积的一半来计算相关时间。相关时间越小,就意味着相关系数随τ\tau 增加而降落的越快,表明随机过程随时间变化越剧烈。

相关系数和相关时间

# 遍历性或各态历经性

定义时间均值:

A(X(t))=x(t)=limT12TTTx(t)dtA(X(t))=\overline{x(t)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t) \,dt

若它依概率 1 收敛于集合均值,即:

A(X(T))=E[x(t)]=mXA(X(T))=E[x(t)]=m_X

则称X(t)X(t) 均值具有遍历性。

定义时间自相关函数:

RX(t,t+τ)=x(t)x(t+τ)=limT12TTTx(t)x(t+τ)dt\mathfrak{R}_X(t,t+\tau)=\overline{x(t)x(t+\tau)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x(t)x(t+\tau) \,dt

如果它依概率 1 收敛于集合自相关函数,即:

RX(t,t+τ)=E[x(t)x(t+τ)]=RX(τ)\mathfrak{R}_X(t,t+\tau)=E[x(t)x(t+\tau)]=R_X(\tau)

则称X(t)X(t) 自相关函数具有遍历性。

遍历过程必定是平稳的,而平稳过程不一定是遍历的

# 联合宽平稳和联合宽遍历

# 联合宽平稳

若两个随机过程X(t)X(t)Y(t)Y(t) 分别宽平稳,且互相关函数仅为时间τ\tau 的函数,即:RXY(t1,t2)=RXY(τ)τ=t2t1R_{XY}(t_1,t_2)=R_{XY}(\tau) \qquad \tau=t_2-t_1,则称这两个过程为 联合宽平稳宽平稳相依

# 联合宽遍历

若两个随机过程X(t)X(t)Y(t)Y(t) 联合宽平稳,定义它们的时间互相关函数为RXY(τ)=X(t)Y(t+τ)=limT12TTTx(t)y(t+τ)dt\mathfrak{R}_{XY}(\tau)=\overline{X(t)Y(t+\tau)}=\displaystyle\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} x(t)y(t+\tau) \,dt,若RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)]=RXY(τ)\mathfrak{R}_{XY}(\tau)=E[X(t)Y(t+\tau)]=R_{XY}(\tau),则称这两个过程具有 联合宽遍历性

# 互协方差和互相关系数

当两个随机过程联合平稳时,它们的互协方差:

CXY(t1,t2)=CXY(τ)C_{XY}(t_1,t_2)=C_{XY}(\tau)

互相关系数:

ρXY(t)=CXY(t)CX(0)CY(0)=RXYmXmYσXσY\rho_{XY}(t)=\cfrac{C_{XY}(t)}{\sqrt{C_X(0)C_Y(0)}}=\cfrac{R_{XY}-m_Xm_Y}{\sigma_X\sigma_Y}

# 联合宽平稳性质

  1. RXY(τ)=RYX(τ),CXY(τ)=CYX(τ)R_{XY}(\tau)=R_{YX}(-\tau),C_{XY}(\tau)=C_{YX}(-\tau),它们既不是偶函数,也不是奇函数
  2. RXY(τ)2RX(0)RY(0),CXY(τ)2CX(0)CY(0)=σX2σY2|R_{XY}(\tau)|^2\leqslant R_X(0)R_Y(0),|C_{XY}(\tau)|^2\leqslant C_X(0)C_Y(0)=\sigma_X^2\sigma_Y^2
  3. RXY(τ)12[RX(0)+RY(0)],CXY(τ)12[CX(0)+CY(0)]=12(σX2+σY2)|R_{XY}(\tau)|\leqslant\cfrac{1}{2}[R_X(0)+R_Y(0)],|C_{XY}(\tau)|\leqslant\cfrac{1}{2}[C_X(0)+C_Y(0)]=\cfrac{1}{2}\left(\sigma_X^2+\sigma_Y^2\right)